Eu olhei no diálogo Gerenciar Plug-ins de Conteúdo no menu Ferramentas e descobri que não havia plug-ins em uso. Para onde todos foram eu não sei.
A seleção de todos os plug-ins e o clique no menu suspenso ao lado do Flash Video permitiram que eu reinstalasse o software Adobe Flash. Ao tentar novamente, os vídeos do YouTube começaram a funcionar, então presumo que isso resolveu o problema.