Na verdade, essa é uma das poucas razões pelas quais eu uso o Chrome na área de trabalho!
O Chrome é compatível com personas. Portanto, basta criar uma segunda pessoa e associá-la à outra conta. Agora você pode estar logado em ambas as contas ao mesmo tempo e ainda mantê-las separadas. Para mudar, abra uma nova janela e clique no pequeno retângulo no canto superior direito da janela com o seu nome.
É a Microsoft com este problema, pois tenho cerca de 5 ou 6 contas diferentes com eles para diferentes propósitos.
Para outros navegadores, é necessário usar uma nova janela privada, mas você precisa fazer login sempre: o Chrome mantém suas contas do Google para você. O uso de algo como o LastPass contorna o problema de login, colocando todos os seus logins a apenas alguns cliques de distância.
(Desculpe pela dica de favoritos ...)