Então, depois de mais alguns problemas, eu encontrei o problema. Eu precisava de um cabo cruzado entre o roteador e o switch. Aparentemente, o roteador Linksys antigo que funcionava tinha algum tipo de recurso automático que fazia isso, enquanto o NOVO roteador Netgear não tinha esse recurso.
Então, assumindo que as coisas melhoram com o tempo, presumi que o roteador Netgear, que provavelmente foi feito dois anos depois do roteador Linksys, teria o mesmo recurso. Eu estava errado e perdi um bom tempo para descobrir isso. Eu tenho conhecimentos básicos de rede, e novos que você costumava ter sempre que usar um cabo crossover entre switches, mas passou por cima, já que o antigo funcionava com cabos padrão. Lição aprendida.