Usando o aplicativo terminal . Copie e cole os seguintes comandos.
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Adicione a chave de assinatura do repositório Spotify para verificar os pacotes baixados
sudo apt-key adv --keyserver hkp://keyserver.ubuntu.com:80 --recv-keys BBEBDCB318AD50EC6865090613B00F1FD2C19886
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Adicione o repositório do Spotify
echo deb http://repository.spotify.com stable non-free | sudo tee /etc/apt/sources.list.d/spotify.list
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Atualizar lista de pacotes disponíveis
sudo apt-get update
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Instale o Spotify
sudo apt-get install spotify-client
Fonte : informações obtidas do link