A resposta curta é que você precisa instalar corretamente o Linux Mint.
Você poderia instalar todos os pacotes Mint e fazer o Ubuntu parecer e agir como Mint, mas ainda seria o Ubuntu.
Eu não estou dizendo que é impossível enganar o sistema operacional para atualizar para o Mint, o que exigiria alguém com mais conhecimento do que eu, mas por que problemas de risco no futuro? Você tem que lembrar do Mint enquanto o mint é baseado no Ubuntu, que é baseado no Debian, isso não significa que tudo é compatível. O Ubuntu pode estar usando um kernel ou pacote de software que não foi testado no Mint e pode não funcionar. Realmente não é um risco que vale a pena considerar, considerando quão fáceis são as instalações completas.
Você pode fazer backup do seu diretório pessoal e de outros dados e rapidamente instalar o Mint e restaurar seus arquivos.