Eu encontrei uma resposta para minha própria pergunta. A solução é um pouquinho inconveniente, mas certamente não há muito mais esforço.
SOLUÇÃO: Abra o VLC, depois "Barra de Ferramentas - Mídia - Abrir Arquivo". Na caixa de diálogo 'Abrir arquivo', navegue até o local da LAN onde o vídeo está localizado e abra-o. O arquivo pode estar em uma unidade mapeada ou não - nesse caso, basta navegar na Rede até que o arquivo seja encontrado.
Assim que descobri isso, foi um momento de "ah-ah". Anos atrás, enquanto usava o MusicMatch Program, ocorreu um erro semelhante no Windows File Explorer. Não consegui acessar a música por meio do "novo e melhor" Windows 8 File Explorer. A solução era colocar o caminho completo nas listas de reprodução, em vez de apenas um caminho abreviado sem um Drive:.
Portanto, parece que com (pelo menos) o Windows 8 e acima, os argumentos passados do Windows Explorer para um aplicativo - ao clicar duas vezes em um objeto - foram alterados. Os aplicativos mais antigos não entendem o novo formato e, portanto, não podem abrir o objeto adequadamente. Pelo menos esse é o meu raciocínio não-programador.
De qualquer forma, espero que minha pequena conversa possa ajudar outras pessoas com problemas semelhantes. Chow.