OK, então eu cometi alguns erros bem básicos aqui, embora esperemos que não sejam obscuros o suficiente para que a eventual solução não ajude algumas pessoas no futuro.
O primeiro problema foi que eu estava de fato executando o phpize a partir do PHP 5 - eu pensei que tinha linkado simbolicamente, mas eu não tinha feito isso.
Então, além disso, o primeiro comando a ser executado foi:
/usr/local/php7/bin/phpize
Meu segundo erro foi que ./configure também assumiu que eu estava rodando o PHP 5, então para corrigir isso eu tive que rodar:
./configure --with-php-config=/usr/local/php7/bin/php-config
Por fim, make
e make install
funcionaram e copiaram os arquivos para o local correto automaticamente.