Qual é o formato da chave que você tem?
Se é um usando o formato OpenSSH (e não putty), então é provavelmente um arquivo de texto simples. Basta copiar o texto em uma nota segura no lastpass ou qualquer outro gerenciador de senhas que você use. Se a chave está em algum formato binário, você pode simplesmente codificá-la com base64 e armazená-la em algum lugar.
Heck, você poderia imprimi-lo mesmo, embora seria uma dor, se você tivesse que redigitá-lo manualmente.
Se você optar por armazenar uma cópia na nuvem, deverá ter certeza de que definiu uma frase-senha strong na chave para que ela seja criptografada.