Eu tentarei adivinhar qual poderia ser o problema ... Como provavelmente declararei suposições incorretas, corrija-me e tentarei novamente com as novas informações.
Eu suponho que ambas as interfaces estão sendo configuradas via DHCP. Nesse caso, tanto sua interface eth0 quanto sua interface eth1 estão recebendo um ip 'gw' de seus respectivos servidores DHCP. Como a interface eth0 não possui uma rota para a Internet (um gw válido), sempre que ela é ativada, sua conexão com a Internet está caindo.
Para fazer com que sua interface Wi-Fi tenha precedência sobre a interface da LAN, acesse Preferências do sistema ... Rede e procure o ícone de roda dentada no canto inferior esquerdo. Puxe-o para baixo e selecione "Definir ordem de serviço". Uma nova janela irá aparecer. Arraste o Wi-Fi para que fique acima da Ethernet (ou arraste Ethernet para que fique abaixo do Wi-Fi), clique em OK para descartar a janela de ordem de serviço e depois em Aplicar janela de rede. Isso deve dar ao Wi-Fi um status preferencial em sua conexão Ethernet.