Longa história curta, este é o 'como'
root@host$ sudo -u joe DISPLAY=:0 transmission-gtk
No momento em que fiz essa pergunta, aparentemente eu estava usando um kernel com um bug desagradável como bônus, porque muitas coisas estranhas estavam acontecendo quando retomei o laptop do sono.
Neste momento, executo outra versão do kernel e nenhum dos problemas descritos acima existe. E eu sudo agora apenas funciona. Eu tentei todo tipo de coisa, você nomeou. Nada funcionou, e eu não sou exatamente novo no Linux.
Funciona agora. Obrigado por toda a ajuda!