Meu primeiro palpite seria o fornecimento de energia, pois parece que ele tenta iniciar e depois falha. Eu suponho que você não tem outras partes boas para testar?
Tente desconectar todos os complementos extras, discos rígidos, unidades óticas e remover quaisquer placas de expansão. De lá, você pode limitar o problema para a placa-mãe (cpu, ram) ou a fonte de alimentação como o problema. Se ele começar a funcionar depois de remover todos os extras, comece a adicioná-los um por um até identificar o componente ofensivo. Pode ser a placa-mãe, mas as condições que você descreve sugerem a fonte de alimentação, já que ela mal liga. Uma CPU com falha ou superaquecimento faria com que uma máquina ligasse por alguns e depois desligasse também. Minha ordem de preocupação seria fonte de alimentação - > motherboard - CPU. Quando você tem uma parte, certifique-se de examinar a placa-mãe para quaisquer marcas de queima ou descoloração. Além disso, tome nota de qualquer cheiro. Enfie sua cabeça perto da placa-mãe e veja se você percebe alguma coisa. A fonte de alimentação provavelmente emitia um cheiro ardente também, então verifique isso.
Se você comprou peças novas, a fonte de alimentação deve estar na garantia e você deve ser capaz de obter uma substituição.