A resposta curta é que não, não deveria, porque os pacotes enviados do seu computador para um servidor na mesma rede local nunca devem sair da rede local, supondo que a rede esteja configurada de maneira sensata.
No entanto, a resposta curta faz outra suposição sobre sua rede, que é que sua rede local é realmente local. Muitas organizações agora terceirizam serviços para a nuvem e usam várias tecnologias para encapsular pacotes de dados através dos limites da rede (por exemplo, através da Internet pública) enquanto fazem com que tudo pareça que o servidor tem um endereço IP local.
Como alternativa, o servidor pode estar em sua rede, mas em outro local, como um datacenter remoto ou outro escritório, o que exigiria que pacotes fossem tunelados pela rede pública (Internet).
O resultado é que o arquivo grande que você está transferindo para um servidor de arquivos na sua rede pode, na verdade, estar consumindo a largura de banda da Internet. A única maneira de saber com certeza é perguntar a alguém que entende sua topologia de rede e sabe com certeza onde o servidor está fisicamente e logicamente.