É uma propriedade da placa-mãe e da CPU coletivamente. Um processador pode ser de 32 bits ou ter extensões de 64 bits, mas precisa de uma placa-mãe compatível para ser conectada. Uma placa-mãe suportaria processadores de 64 bits, mas você também poderia conectar um de 32 bits se não precisasse / queira / tenha recursos de 64 bits.
Para a pergunta # 2, existem várias maneiras de determinar se o processador está operando no modo de 32 ou 64 bits. Como outros comentaram, isso foi respondido em outro lugar.