Isso depende do servidor DHCP do seu provedor.
Cada vez que você aluga um novo endereço IP - ele será alugado por um período de tempo definido (com o meu ISP, isso é de 8 dias).
A meio desse período de tempo (4 dias no meu caso), o router irá solicitar novamente o seu IP e ser alugado por mais 8 dias - isto é conhecido como o período de meia-vida do DHCP.
Se o roteador estiver desligado por tempo suficiente para que a duração total da concessão do DHCP seja atingida e o roteador não tente reatribuir o IP - esse endereço IP será liberado para ir para outro cliente e você perderá o IP.
Você pode descobrir depois de um longo período de tempo que liga seu roteador e ainda obtém o mesmo IP.
Alguns servidores DHCP esgotarão sua lista de IPs "nunca usados" antes de passarem para os que foram concedidos e liberados. Isso significa que pode não ter sido reatribuído. Quando o seu roteador disparar de volta, ele perguntará se ainda é permitido usar o mesmo IP (que ele acha que ainda possui) e ser informado que sim (porque nada mais precisou disso ainda).
Outra possibilidade é que você tenha um IP reservado. Alguns ISPs oferecem IPs estáticos, mas ainda insistem em manter o roteador definido como DHCP. Neste caso, eles configuram uma reserva - o que significa que o IP que você atribuiu a você é reservado exclusivamente para o endereço MAC do seu roteador - e ele será "atribuído" a você toda vez que o roteador solicitar um IP, não importa quão por muito tempo ele foi desligado por.