A questão principal é que
tar -czf arh.tar.gz public_html 1
não cria nenhuma saída. Então você precisa de pelo menos
tar -czvf arh.tar.gz public_html 1
para criar qualquer saída. Mas como a saída vai para STDERR em vez de STDOUT você precisará
tar -czvf arh.tar.gz public_html 1 2> 1.log
para capturar qualquer saída no arquivo de log
Geralmente, é melhor fazer novas perguntas em vez de acompanhar o mesmo tópico, mas aqui vamos nós
for i in */ ; do
sitefolder="$HOME/domains/${i%%/}/public_html"
if [ -d "$sitefolder" ]; then
echo "Backing up ${i%%/}" >> $logs/backups.log
tar -czvf $tbackups/$i".tar.gz" public_html 2>> $logs/backups.log
echo "Backup of ${i%%/} successfull" >> $logs/backups.log
fi
done