Não parecia que iria fazer mais nada, então reiniciei. O novo kernel não inicializou, então voltei para o antigo. Várias coisas foram quebradas, incluindo a rede.
Tentei correr
sudo apt-get dist-upgrade
e que disse para correr
sudo dpkg --configure -a
Isso pareceu acabar com a configuração e agora tenho um sistema em funcionamento novamente. Ainda precisa testar algumas coisas, mas geralmente parece bom.
Desde então, mudei / var para uma partição diferente para evitar esse problema no futuro, conforme detalhado em Como posso armazenar / var em uma partição separada?