Você pode usar script
para registrar todas as saídas de um comando ou até mesmo para iniciar um comando. Um comando que você pode iniciar é um novo problema de um shell. Por exemplo.
script my_log /usr/local/bin/bash
Se isso não for uma vez, mencione isso em sua postagem. (Nesse caso, você provavelmente deseja configurá-lo nos scripts de login para esse usuário, possivelmente no script exec e no log do somwhere onde o log não pode ser manipulado).