Parece que você deseja usar o IMAP em vez do POP para acesso por email. O IMAP permite que você visualize mensagens no próprio servidor, em vez de baixá-las para o seu computador. É um pouco mais lento para a maioria dos usos, mas a banda larga predominante mitigou a preocupação.
Uma explicação da configuração do IMAP no Thunderbird está aqui: link