Se você precisa que sua solução funcione como está, um simples truque seria usar um programa C curto em vez de um script de shell:
int main(){
setuid(geteuid());
system("/path/to/send-incoming-email.sh");
}
E tenha esse setuid, evitando assim a condição de corrida e, ao mesmo tempo, permitindo que você passe a execução do script como root.
Esta não é a melhor solução, de longe, mas resolverá o problema conforme descrito.