Um registro é um registro A e não pode ter um nome de host; precisa de um endereço IP. Um CNAME é um alias, mas não funciona em um caso como esse.
Portanto, o problema não são suas configurações de DNS, mas sim a configuração do endereço IP do Azure. Em geral, o Azure não é o único local que libera endereços IP na reinicialização. O Amazon EC2 virtual hosting faz uma coisa semelhante, onde o IP é alterado no reinício e para resolver o que você precisa para obter um Elastic IP Address para basicamente ter um endereço estático que faça a ponte com os diferentes endereços internos O endereço IP que uma reinicialização criaria.
Examinando a documentação oficial do serviço de computação em nuvem Microsoft do Azure , é mostrado que eles oferecem reserved IP addresses que fornecem a funcionalidade que você descreve:
To prevent IP addresses from changing, you can reserve an IP address. Reserved IPs can be used only as a VIP, ensuring that the IP address for the cloud service will be the same even as resources are shutdown or deallocated. Furthermore, you can convert existing dynamic IPs used as a VIP to a reserved IP address.
Existe um custo associado a um endereço IP reservado, mas parece bastante trivial com base no uso por hora. Sugiro que você simplesmente obtenha um endereço IP reservado para o servidor e aponte apenas o nome do domínio para esse endereço IP.