Se o seu sistema não estiver completamente inoperante (ou seja, o serviço MySQL pode ser iniciado):
1) Inicialize a partir da mídia de resgate
2) Monte o disco do seu sistema
mount /dev/sdX /mnt/tmp
3) Monte sistemas de arquivos virtuais
mount -o bind /dev /mnt/tmp/dev
mount -t proc proc /mnt/tmp/proc
mount -t sysfs sys /mnt/tmp/sys
4) Alterar raiz
chroot /mnt/tmp
5) Quando você está no ambiente chroot'ed, inicie o serviço MySQL
/etc/init.d/mysql start
6) Faça backup de db como você faz normalmente
Não esqueça de verificar sua formatação de backup antes ; você também pode fazer backup de arquivos brutos do MySQL, backups nunca prejudicam.