A opção t para ping define o campo time-to-live no pacote, isso não tem nada a ver com quantos pings são enviados ou por qual duração. IIRC o campo IPV4 TTL normalmente limita o número de roteadores que o pacote pode atravessar (max "hops").
Você provavelmente deve usar ping -c count -i interval , por exemplo, ping -c 240 -i 60 enviaria um ping a cada 60 segundos por quatro horas.
Isso provavelmente não é um bom uso do ping. O manual diz
This program is intended for use in network testing, measurement and management. Because of the load it can impose on the network it is unwise to use ping during normal operations or from automated scripts.