Esta é uma parte de programação css da página e, por padrão, permite o redimensionamento tanto na horizontal como na vertical. Para desativá-los todos em um site, adicione isso no css da página:
textarea {
resize: none;
}
De onde vem o identificador de redimensionamento nas caixas de texto do navegador? É uma implementação do navegador * ou um HTML / CSS / JavaScript / etc. implementação?
É padronizado em navegadores / sistemas operacionais / frameworks / protocolos / etc. de alguma forma?
Noto que às vezes falta em caixas de texto - como a caixa de texto da pergunta do Superuser - o que me leva a acreditar que há algum tipo de interação entre a linguagem HTML / CSS em jogo.
Mas talvez não.
* (para referência, estou usando o Firefox v22 no Windows 7 x64)
É uma parte do CSS3 (versão 3 do CSS). A propriedade de redimensionamento é suportada no Firefox 4+, Chrome e Safari.
Você pode ler mais sobre a propriedade redimensionar aqui link e todas as outras propriedades CSS.