Para ter uma ideia do que realmente será executado quando eval -ing alguma string, tente echo it first . eval -ing é como copiar a saída de echo para o shell e rodar esse :
echo "test2"="'Test Name's Test'"
test2='Test Name's Test'
Existem três citações simples, que nunca serão executadas. E como você não pode incluir aspas simples em strings com aspas simples do Bash (ele nem suporta a contrabarra de escape, ao contrário de muitas outras linguagens), você terá que usar aspas duplas se quiser eval algo assim:
echo "test2"="\"Test Name's Test\""
test2="Test Name's Test"
Mas como @daniel apontou, o eval é desnecessário. E você não deveria estar usando eval em qualquer caso - O único caso que eu já vi de útil eval é com getopt output .