Se você configurou isso anos atrás, é quase certo que você esteja usando o POP. Eu acho que vale a pena reconfigurar o Thunderbird para usar o IMAP. É muito mais adequado para armazenar mensagens no servidor e para lidar com vários computadores que acessam a mesma conta (como uma área de trabalho e um laptop). Para o uso do laptop (ou como backup), você pode até tê-lo configurado para baixar e armazenar uma cópia de todos os seus e-mails no seu computador e manter o arquivo sincronizado com o servidor e acessível por outros clientes.
Você pode fazer isso simplesmente criando uma nova conta no Thunderbird e excluindo a antiga quando estiver satisfeito de que tudo funciona.