Resposta retirada de: link
string='a needle in a haystack'
if [[ $string = *"a needle"* ]]; then
echo "It's there!"
fi
Observe que os espaços na seqüência de caracteres da agulha precisam ser colocados entre aspas duplas, e os curingas * devem estar fora.
Adaptado ao seu caso:
VAR_EXIST=$(command)
if [[ $VAR_EXIST = *"$DATABASE_NAME"* ]]; then
echo "DB exists!"
fi