Ignorando as implicações éticas:
Uma máquina virtual do Azure terá seu próprio canal para a Internet, não tendo nada a ver com sua rede local. Isso se aplica também às pesquisas de DNS: as VMs do Azure não usarão os servidores DNS da rede local (supondo que sua rede local tenha servidores DNS).
Dito isso: você precisa de alguma maneira de se conectar à VM do Azure, seja RDP, vpn ou outra ferramenta de compartilhamento de área de trabalho. E não há como dizer que tipo de monitoramento sua empresa está fazendo em relação ao software que você está executando localmente.
Mais uma coisa: se você estiver usando uma assinatura do Azure de propriedade / cobrada da empresa em que trabalha, eles poderão rastrear facilmente o uso de recursos (máquinas virtuais, armazenamento, largura de banda, etc.). Portanto, se você criar uma VM em sua assinatura, há uma chance de que eles possam rastrear padrões gerais de uso e possam potencialmente inferir o uso de recursos não relacionados ao trabalho.