Sim, é possível sem um computador - mas, infelizmente, você ainda precisará de ALGO na outra extremidade para lançar. Você precisaria de um smartphone / tablet Android com Android 4.4 (KitKat) ou superior e, em seguida, usar o aplicativo Google Cast para espelhar toda a tela do dispositivo para o Chromecast. (Pelo que eu entendi, isso não parece ser possível em um dispositivo iOS, pelo menos não sem um computador atuando como um intermediário - que é o que você está tentando evitar, em primeiro lugar.)
Até onde eu sei, o Chromecast não tem um navegador assíncrono integrado que permitiria que você simplesmente "controlasse" suas ações a partir de seu dispositivo móvel, mas fosse executado como um aplicativo interno diretamente no Chromecast, que é o que acontece com o aplicativo do YouTube, por exemplo. Assim, a única maneira de obter um website no seu Chromecast seria transmitir uma tela inteira de outro dispositivo.
Quanto à configuração da atualização automática, não é possível fazer isso diretamente em um navegador Android, mas você pode usar o Tasker para fazer isso - veja como: Atualização automática de uma página da Web a cada N minutos
Tom