Isso cheira a POP3 para mim. Ao usar o POP, todos os e-mails e pastas são baixados do servidor para a sua máquina e tratados localmente. O resultado é que qualquer ação realizada através de um cliente (por exemplo, interface web do gmails) não será duplicada para o outro cliente (no seu caso, o Thunderbird).
O que você precisa é IMAP - Todos os arquivos e pastas são armazenados / manipulados no servidor, e os clientes apenas sincronizam com isso.
Ao configurar a conta no thunderbird, certifique-se de selecionar IMAP em vez de POP3.
Você também pode precisar definir isso na sua conta do Gmail:
- Configurações
- Encaminhamento e POP / IMAP
- Acesso IMAP
- Marque a opção "Ativar IMAP"
.... é isso que eu tenho, e não sei se é o padrão ou se eu mudei.