Se você usa um CD live do Linux, você pode usar ddrescue para criar uma imagem de todo o disco rígido e armazenar esse arquivo (provavelmente grande) em qualquer lugar que desejar. ddrescue é semelhante a dd na maneira como criará uma imagem de disco bruta. Mas é projetado especificamente para trabalhar com HDs levemente quebrados.
Muitos sites como o ForensicsWiki sugerem vários passes de ddrescue para obter resultados rápidos e satisfatórios (você precisa usar o mesmo arquivo de log a cada vez, para saber quais setores já foram tentados):
ddrescue -n /dev/sdX NETWORK/diskimage.img logfile.txt
ddrescue -r4 /dev/sdX NETWORK/diskimage.img logfile.txt
(Para melhores resultados, você pode querer dar uma boa olhada na manpage ou em outros tutoriais usando o ddrescue, dependendo do dano no seu HDD)
Você pode montar essa imagem (usando o comando mount do Linux / Cygwin ou ferramentas como OSFMount para Windows), por isso é acessível como qualquer outra estrutura de pastas.
Há uma ressalva em sua solução usando a imagem: se você tiver uma imagem bruta, o espaço vazio no sistema de arquivos também será copiado (portanto, um disco rígido de 500 GB preenchido com dados de 300 GB ainda terá uma imagem de 500 GB para copiar através da rede).
No entanto, você tem armazenamento local suficiente, você pode primeiro manter a imagem lá e redimensioná-la usando ferramentas como gparted