Veja este site para mais detalhes . Resumindo:
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/var/run
(Dados variáveis em tempo de execução) contém dados associados a programas em execução; em particular, esses arquivos devem ser (re) criados no boot / start. -
/var/lib
(informações de estado variável), por outro lado, contém dados que devem persistir entre invocações de programas e reinicializações.