A abordagem básica que eu faço é copiar tudo o que você puder, e depois tentar apagar & reinstale, depois copie os dados necessários de volta. Dependendo de quais recursos você tem disponível, há várias maneiras possíveis de tentar recuperar dados:
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Se você tiver outro Mac disponível, inicie o problema com o Mac no modo de disco de destino (pressionando a tecla T na inicialização); Isso basicamente irá transformá-lo em um HD externo. Conecte-o ao outro Mac com um cabo FireWire ou Thunderbolt (seja qual for o Mac). Se ele estiver intacto o suficiente para ser montado diretamente, você pode copiar dados diretamente dele para outro Mac ou para algum outro disco externo. Se não estiver intacto o suficiente, tive boas experiências usando o DiskWarrior para montar um disco virtual reparado e copiar a partir dele.
(DiskWarrior também pode ser capaz de fazer um reparo no local da estrutura do volume; pode corrigir muitos problemas que o Utilitário de Disco não pode. Mas eu me sentiria muito mais confortável copiando as coisas importantes antes de tentar qualquer coisa que modifica os dados no disco.Também, mesmo que consiga corrigir as estruturas de dados do volume, não há garantias de que os arquivos do SO não foram corrompidos.)
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Se você estiver confortável trabalhando na linha de comando, poderá iniciar no modo de recuperação, abrir o Terminal (no menu Utilitários), conectar um disco externo e copiar os arquivos desse modo. Aviso: se você não estiver confortável com a linha de comando, eu não recomendo isso; é muito fácil ficar confuso e acidentalmente sobrescrever / excluir os arquivos que você está tentando salvar!
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Como allquixotic disse, você poderia fazer um disco Linux Live com o driver hfsplus (em outro computador), conectá-lo, segurar Opção ao iniciar o Mac, e então você pode inicialize a partir do Linux e dos arquivos de recuperação dessa maneira.
Depois de ter tudo copiado (e verificado!), você pode usar o modo de recuperação para apagar o volume e tentar reinstalar o macOS. Se houver um problema de hardware subjacente, isso pode falhar. Mas esperamos que você possa pelo menos salvar os dados!