No, you cannot share cookies across web browsers. At present, there are no services that synchronizes cookies just like how bookmarks are synchronized.
It does not make sense for you to share a cookie across browsers or even machines, because cookies are supposed to be used to identify unique sessions. Most web applications are also intelligent enough to handle simultaneous access of their service from multiple devices. For example, you can use Facebook or Gmail on your smartphone and laptop without causing any synchronizing issues.
Existem algumas extensões do Google Chrome que podem lhe interessar. Por exemplo, dê uma olhada nesta extensão:
Crie uma conta. Faça o login em vários dispositivos e compartilhe rapidamente sua sessão do navegador. Está funcionando muito bem até agora. O tempo de sincronização é quase instantâneo e é muito agradável e fácil de usar. Sim, ele faz as sessões por site, mas adicionar uma nova sessão de site não é nada difícil e não leva muito tempo. Eles também têm uma versão paga que é de apenas US $ 1 por mês e dá-lhe algumas coisas extras.
A única coisa que estou perdendo com essa extensão é que ela não compartilha cookies / senhas para que eu não precise fazer login novamente em todos os sites. Eu procurei mais alguns, mas não consegui encontrar nada que compartilhe cookies / senhas automaticamente. Espero que o sessionbox implemente esse recurso em algum momento.