Não é incomum ver pessoas encontrando problemas com permissões quando criam uma nova hierarquia de pastas na raiz da partição do sistema operacional. Já pensou em utilizar a hierarquia de pastas Public
profile?
Dito isso, pode ser bom excluir a pasta API
vazia e verificar novamente as permissões NTFS na pasta C:\Projects
antes de tentar recriá-la.
Você está executando a versão 1607 (a.k.a. a atualização de aniversário)? Em caso afirmativo, você pode utilizar o shell bash do Windows Subsystem for Linux para excluir facilmente essa pasta. Depois de ativar o bash shell, navegue até o local da pasta e use o comando rm -r [folder]
para excluí-lo.