Por um ano, a AWS fornecerá alguns serviços gratuitos. É bem possível que você pague uma pequena quantia (como US $ 0,40 / mês) se usar VPNs (o que eu recomendaria). Seu pequeno servidor de nível gratuito vai custar cerca de US $ 70 / mês, uma vez que não é gratuito. Você poderia continuar mudando de local, mas há uma curva de aprendizado bastante decente na AWS para evitar acabar com uma fortuna. Não inicie o RDBS, por exemplo, para um site que deseja ser livre.
Se for apenas o nome que o incomoda, compre um nome de domínio e redirecione-o para o site. Se eles permitirem que você execute scripts PHP, eles podem permitir que você execute uma regra de reconfiguração de domínio do Apache em um arquivo .htaccess.
Edite: @Notidart, e tenha muito cuidado ao trabalhar na AWS. É muito fácil construir algo que não é livre lá. Os dados enviados para a AWS não são cobrados pela transferência. Os dados enviados para a Internet ou para outra região da AWS são cobrados pela transferência. O nível gratuito fornecerá alguns dados gratuitamente. Configurar o envio de email em seus servidores é demorado, mas pode ser feito. Eles bloqueiam por padrão para evitar que os spammers usem vários servidores gratuitos para enviar e-mails. Eu tenho trabalhado com um pequeno grupo que criou um software que usava um banco de dados mysql que eles colocavam no RDBS e rodavam em um servidor web. Tudo estava bem até o ano acabar e, de repente, em um mês eles tinham uma conta de 700 dólares para o que era essencialmente um site que não estava atendendo a ninguém. (sem conexões dentro ou fora - era apenas hora do servidor / tempo RDBS cobrado). Na verdade, ganho muito bem o gerenciamento de serviços em nuvem para que as empresas não acabem com custos excessivos. Eu recomendaria tentar AWS, mas você precisa ser cauteloso e estar muito ciente do que está no nível gratuito e o que não está. VPNs, balanceadores de carga, não estão no nível gratuito. É difícil criar um site que seja Implantação Contínua / Integração dentro das restrições de nível gratuito.
Se você não gosta de habilidades de administração de sistemas profundos, mantenha o host gratuito e aprenda como configurar uma regra de reescrita de nome de domínio. Vai ser muito mais barato para você.