Eu tive o mesmo problema com um mouse Logitech G602. O problema foi com o botão de hardware. Eu abri o mouse (o meu tem parafusos escondidos atrás de almofadas de plástico) e coloquei alguns WD40 no botão logo abaixo do volante. Deixei secar um pouco, movi e usei o botão várias vezes e adicionei novamente o WD40 e repeti o clique e o aperto do botão. Eu remontei o mouse e voila! o botão de clique do meio está funcionando novamente.
Como um comentário sugerido, você deve testar seu mouse em outro PC que suporte o clique do meio para ter certeza de que o problema vem do mouse antes de abri-lo.