A melhor maneira de fazer isso é através do cliente OneNote para Windows, que é o mais maduro dos clientes.
Isso se torna ainda mais fácil se você puder acessar o novo local de rede a partir do Windows Explorer, pois o OneNode possui um botão "Alterar local" nas Propriedades do Bloco de Notas. Use isso no local original para movê-lo para o seu PC local. Em seguida, use-o novamente assim que você tiver o novo local sincronizado.
Caso contrário, abra um novo bloco de anotações no novo local e no antigo e mova cada guia clicando com o botão direito e "Mover ...".