Você precisa usar a opção -s :
$ cut -d ' ' -sf 2- <<< "example"
$
Por padrão, se uma linha não tiver delimitadores, cut imprimirá a linha inteira. -s desativa esse comportamento.
Não que seu segundo exemplo tenha um delimitador:
cut -d ' ' -f 2- <<< "example "
Como a linha tem um delimitador, cut faz o que você espera.
Documentação
Esse comportamento está documentado em man cut :
-f, --fields=LIST
select only these fields; also print any line that contains no delimiter character, unless the -s option is specified