Depois de pesquisar muito, finalmente encontrei um tópico nos fóruns do VMWare ( link ) que tem o título "Não é possível obter o serviço NAT do VMware em execução".
Percebi que o NAT do VMWare depende de um serviço do Windows que precisa ser executado. Então eu fui ao Configurações de serviços do Windows, e com certeza, o "VMware NAT Service" foi definido como manual. Eu iniciei e configurei para iniciar automaticamente, e a rede começou a funcionar na minha VM.