O método usual é usar
nohup command >log 2>error-log &
Você tem que colocar em segundo plano o processo (&) e certificar-se de que ele não desligará tentando gravar mensagens no terminal. O nohup garante que ele não receba sinais (como SIGHUP) quando o processo pai (sessão de terminal) for fechado.
A propósito, se você ler a página de manual do ping, verá que é considerado uma má idéia deixá-lo rodando assim.
This program is intended for use in network testing, measurement and
management. Because of the load it can impose on the network, it is
unwise to use ping during normal operations or from automated scripts.