Para corrigir esse problema, eu desinstalei o Windows Mobile Device Center, cliquei com o botão direito e instalei o USB Sync Cradle no gerenciador de dispositivos e verifiquei o novo hardware no PC. Desta vez, quando o driver foi instalado, o Windows Mobile Device Center foi instalado ao mesmo tempo que o driver.
Acho que o meu problema provavelmente foi causado por instalar as coisas na ordem errada.