Eu não tentei essa combinação exata de GPUs, mas vou dizer que muitos laptops têm problemas com GPUs do mesmo fornecedor em um cenário de eGPU como este. Eu posso garantir ter visto este problema em vários Thinkpads. Parece ser menos um problema de driver e mais um problema de firmware - o Windows dará uma reclamação nesse sentido, mas não é realmente algo que os drivers consertarão.
Em vista disso, duvido que haja uma solução fácil para fazer o HD 6570 funcionar, mas uma placa Nvidia provavelmente funcionaria bem.
Também é possível que seja um problema com a memória interna da placa - vi alguns laptops com firmware, de modo que o BIOS não consegue alocar memória adequadamente para uma GPU adicional além de uma certa quantidade (geralmente 256 ou 512 MB). Eu não posso dizer que ouvi falar do T60 fazendo isso, mas eu nunca tentei. Não há solução para isso, seja com o uso de um cartão diferente.