Prefixe o comando com sudo . Isso fornece permissões administrativas para um comando (executa como root user). Você será solicitado a fornecer sua senha de usuário.
Executar:
sudo apt-get install git
Mais informações sobre sudo aqui
Observação: você também pode fazer login temporariamente como root digitando sudo su
UPDATE
Como o OP postou novas informações com um erro diferente:
Apenas uma instância do gerenciador de pacotes / atualizador pode estar em execução ao mesmo tempo. Verifique se você não tem outros terminais tentando instalar o software ou se o seu Atualizador de Software não está tentando instalar atualizações. A melhor maneira de ter certeza disso, se você não tiver certeza é de reiniciar, em seguida, execute o comando no terminal antes de fazer qualquer outra coisa.
UPDATE 2
git-core agora é um pacote obsoleto no PPA. O pacote foi renomeado para simplesmente git . Atualizei minha resposta e vinculo de acordo.