Eu duvido que qualquer navegador / extensão possa descobrir automaticamente qual é o campo de pesquisa primário em qualquer página da web, especialmente quando vários campos de texto podem estar presentes.
O melhor método que posso imaginar é usar o Fox Input -on para o Firefox:
This extension provides a hotkey to focus on the input field on a webpage. The default hotkeys are Alt-I (go to the next text input field) and Alt-J (go to the previous one), but you can change them in the setting window.
Isso deve pelo menos reduzir as teclas necessárias, e se apenas um campo de texto existir na página, um único Alt + I deve funcionar.