O navegador deve rastrear a cadeia de certificados para um dos certificados de CA nos quais confia de maneira explícita. Então, se a cadeia é RootCA (confiável) - > IntermediateCA - > YourCert, o navegador deve ter o certificado CA intermediário para validar a cadeia.
Se você estiver usando o Apache, poderá usar a diretiva SSLCertificateChainFile para permitir que o servidor web apresenta o certificado intermediário (sua autoridade de certificação interna) ao navegador. Então tudo vai funcionar bem. Tenho certeza de que existem mecanismos semelhantes em todos os outros principais servidores da Web.