Você precisaria de um servidor de nomes de domínio . Este é um serviço executado em um computador (ou um cluster de computadores) que resolve nomes em endereços IP.
Seu DNS também precisaria resolver nomes da Internet e estar disponível o tempo todo em sua rede, já que ele teria que ser o servidor DNS principal de toda a sua rede (ou qualquer computador que você queira acessar os sites em ).
Existem vários pacotes DNS gratuitos disponíveis (o Windows Server vem com um já incorporado). Mara DNS parece bastante promissor.
Um grande benefício de usar nomes em vez de endereços IP é que você não precisa alocar um endereço IP separado para cada site - eles podem ser executados no mesmo endereço IP, mas diferenciar usando o cabeçalho "Host:" do HTTP request (configurável na configuração do IIS para o site).
Uma alternativa seria comprar seu próprio domínio (ou subdomínio - eles são geralmente mais baratos, às vezes até gratuitos) e ter o DNS hospedado na Internet em algum lugar.