Como @WinniL explicou em um comentário, a solução (embora surpreendente) proposta realmente funcionou:
- Definir o Internet Explorer como o navegador padrão (configurações padrão do aplicativo - > Navegador da Web - > Internet Explorer)
- Painel de controle - > Opções da Internet - > Privacidade (guia) - > Definições (cabeçalho): Sites (botão) - > Sites gerenciados (cabeçalho): Remover todos (botão). Então OK e feche de tudo isso.
- Visite onedrive.live.com e faça o login aqui.
- Agora, tente novamente o aplicativo OneDrive na bandeja do sistema, et voila!