Eu resolvi isso para este caso! Eu acho que a solução provavelmente se aplicará a muitos outros. Fiz um bookmarklet e um bloco de javascript que você pode colar em um console "Ferramentas do desenvolvedor".
var jq_tag=document.createElement('script');
jq_tag.setAttribute('src','//cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/jquery/3.2.0/jquery.min.js');
document.head.appendChild(jq_tag);
setTimeout(function() {
var tf=$(document.activeElement);
var ff=$('<form method="post" target="_blank" action="//example.com"><input type="submit" value="Save this field data"></form>');
tf.after(ff);
ff.prepend(tf);
}, 2000);
Por design (para torná-lo mais genérico), é necessário que você tenha o cursor no campo de texto em questão. Quando você executa o JS, um botão "Salvar este campo de dados" aparecerá após o campo.
Este é um detalhamento do que está sendo feito linha por linha:
# Create a script tag in memory.
# Make it source jQuery.
# Attach it to do the <head> of the document which begins loading it.
# Barbaric workaround for waiting for the JS to load.
# Get the element that has focus.
# Create a form that will POST to example.com in a new tab.
# Attach the form to the DOM right after the "focused element".
# Detach the "focused element" and reattach it inside the new form element.
Aqui está em ação ...
