Livre-se das aspas simples. Eles impedem a expansão das variáveis.
sed "/AXG/s/;/${HOMEx}/g"
Se HOMEx="teste", isso se torna: sed "/ AXG / s /; / teste / g"
Compare link e link
Cuidado, porém: se a variável HOMEx contiver algo que o sed reconheça, você receberá um erro. Neste caso, as principais coisas seriam uma referência anterior como "\ 1" ou barra "/".