Desde que o processador seja capaz de manipular o mesmo arco, e você não tenha compilado um kernel personalizado que esteja faltando alguma coisa, então sim, tudo deve funcionar perfeitamente. Só para esclarecer, se você estiver executando um sistema x86_64 e o novo processador não for capaz de 64 bits, então sim ele irá quebrar. Não se aplica para trabalhar em outra direção, todos os processadores compatíveis com 64 bits podem manipular o kernel e os aplicativos x86. Tendo dito isso, se você está fazendo downgrade e está executando um kernel personalizado com o tipo de processador definido para i686, mas o processador rebaixado só pode lidar com o sistema i386 ... não inicializável. No entanto, você está atualizando para não ter que se preocupar com isso.
Dito isto, se você está apenas usando um kernel do repositório, então você está bem. O Ubuntu compila todos os seus kernels com compatibilidade para processadores i386, e com a maioria de todos os módulos distribuídos do kernel incluídos. Isso é para garantir compatibilidade máxima. Em outras palavras, sim, magicamente vai descobrir isso, lol. Principalmente porque um sistema ubuntu básico tem compatibilidade com a maioria dos hardwares no mercado, você só usa o que o kernel detecta na inicialização ou durante a execução.